Q値ってよく使うけど、こういうもんだ的な理解になってきている気がする(そもそもそれがし、電気電子系出身ではないので基本的知識は「そもそもない」のだが)。一方、ネットで調べてもこんなもんだ的な説明が多い。
「半値幅で共振周波数を割ったもの」をQという説や「強制力による変位の何倍の変位か」をQという説があり(その他、突然、Qを求める式が出てくるもの多数)、どっちも正しいんだろうけど、なぜこれが同じQであり、そして同じ値になるのか。、、、基本的には知っている必要はない。
とはいえ、この単純な問題に正面から取り組んでみる。
まずは直列共振回路。
インピーダンスゼロの交流電圧源が回路に電圧$V$(単位$V_p$、すなわち振幅とする)を供給しているとする。で、各ノードの電圧を下図のように$V_{n1},
V_{n2}$とする。
すると、電流はどのノード間でも同じなので$I$(単位$A_p$)とすると、
\[ V-V_{n1}=\frac{I}{j\omega C} \tag{1} \] \[ V_{n1}-V_{n2}=RI \tag{2} \] \[
V_{n2}-0=j\omega LI \tag{3} \] (1),(2),(3)より、 \[ \begin{eqnarray} V&=&\left(R+j\omega L+\frac{1}{j\omega C}\right)I \\ &=&\left\{ R+j \left( \omega L-\frac{1}{\omega C} \right)
\right\} I \tag{4} \end{eqnarray} \] そして、 \[ Z=R+j \left( \omega L-\frac{1}{\omega C} \right) \tag{5} \] とすると、 \[ V=ZI \tag{6} \]
(6)について、複素数の乗算の性質から、$V$の大きさ$|V|$は$|Z|$と$|I|$の積で、$V$の偏角は$I$の偏角に$Z$の偏角を足したものである。すなわち、
\[ |V|=|Z||I| \tag{7} \] \[ arg(V)=arg(Z)+arg(I) \tag{8} \] ここで、この回路で電源からたくさんの電力を取り出せる条件を考える。
交流回路の電力は \[ P=\frac{|V||I|cos\theta}{2} \tag{9} \] で表せる。$\theta$は$I$を基準として$V$がなす角($cos$なのでどっち基準でもいいけど)である。
(8)より、$I$を基準として$V$がなす角は$Z$の偏角なので、
\[ cos\theta=\frac{Re(Z)}{|Z|} \tag{10} \] となる。ただし、$Re()$は実部を取り出す関数とする。よって、(5)より、 \[ cos\theta=\frac{R}{|Z|} \tag{11} \] (7),(9),(11)より、 \[ P=\frac{|V|^2R}{2|Z|^2} \tag{12} \] ちなみに(12)から、直列共振回路で$I$を一定とすることができれば、取り出せる電力$P$は一定になることがわかる。ここでは$V$一定で$P$を最大化する条件を考えると、$|Z|^2$が最小のときに$P$が最大になる。この時の$\omega$を$\omega_0$とすると、
(5)より、 \[ |Z|^2=R^2+\left(\omega_0 L-\frac{1}{\omega_0 C}\right)^2 \tag{13} \] $R$は正の実数であり、$\left(\omega_0 L-\frac{1}{\omega_0 C}\right)$は実数なので、 \[ \omega_0 L-\frac{1}{\omega_0 C}=0 \tag{14} \] の時に、$|Z|^2$が最小となる。これより、 \[ \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}} \tag{15} \] $\omega_0$は、かの有名な共振周波数である。
\[ |V|=|Z||I| \tag{7} \] \[ arg(V)=arg(Z)+arg(I) \tag{8} \] ここで、この回路で電源からたくさんの電力を取り出せる条件を考える。
交流回路の電力は \[ P=\frac{|V||I|cos\theta}{2} \tag{9} \] で表せる。$\theta$は$I$を基準として$V$がなす角($cos$なのでどっち基準でもいいけど)である。
(8)より、$I$を基準として$V$がなす角は$Z$の偏角なので、
\[ cos\theta=\frac{Re(Z)}{|Z|} \tag{10} \] となる。ただし、$Re()$は実部を取り出す関数とする。よって、(5)より、 \[ cos\theta=\frac{R}{|Z|} \tag{11} \] (7),(9),(11)より、 \[ P=\frac{|V|^2R}{2|Z|^2} \tag{12} \] ちなみに(12)から、直列共振回路で$I$を一定とすることができれば、取り出せる電力$P$は一定になることがわかる。ここでは$V$一定で$P$を最大化する条件を考えると、$|Z|^2$が最小のときに$P$が最大になる。この時の$\omega$を$\omega_0$とすると、
(5)より、 \[ |Z|^2=R^2+\left(\omega_0 L-\frac{1}{\omega_0 C}\right)^2 \tag{13} \] $R$は正の実数であり、$\left(\omega_0 L-\frac{1}{\omega_0 C}\right)$は実数なので、 \[ \omega_0 L-\frac{1}{\omega_0 C}=0 \tag{14} \] の時に、$|Z|^2$が最小となる。これより、 \[ \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}} \tag{15} \] $\omega_0$は、かの有名な共振周波数である。
$\omega=\omega_0$のときの、電圧、電流をそれぞれ$V_0, I_0$とすると、 \[ V_0=R I_0 \tag{16} \]
つまり共振状態で、電流と電圧のなす角は0である。
さらにこの時のコンデンサの両端電圧を$V_{C0}$とすると、(1)より、 \[ V_{C0}=\frac{I_0}{j\omega_0 C}=-j\frac{1}{\omega_0 CR}V_0 \tag{17} \] $\omega_0, C, R$は実数なので、 \[ |V_{C0}|=\frac{1}{\omega_0 CR}|V_0| \tag{18} \] さらに、インダクタの両端電圧を$V_{L0}$とすると、(3)より、 \[ V_{L0}=j\omega_0 LI_0=j\frac{\omega_0 L}{R}V_0 \tag{19} \] $\omega_0, L, R$は実数なので、 \[ |V_{L0}|=\frac{\omega_0 L}{R}|V_0| \tag{20} \] ちなみに(14),(17),(19)より、 \[ V_{C0}+V_{L0}=0 \tag{21} \] となり、それぞれの素子の電圧が逆方向の向きであり打ち消しあっていることがわかる。 (18),(20)に現実的な数字を代入してみると、$|V_{C0}|, |V_{L0}|$が$|V_0|$よりも大きな値になることがわかる。この$|V_0|$の何倍になっているのかを$Q$値という。 (18),(20),(15)より、 \[ Q=\frac{1}{\omega_0 CR}=\frac{\omega_0 L}{R}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} \tag{22} \] となる。
さらにこの時のコンデンサの両端電圧を$V_{C0}$とすると、(1)より、 \[ V_{C0}=\frac{I_0}{j\omega_0 C}=-j\frac{1}{\omega_0 CR}V_0 \tag{17} \] $\omega_0, C, R$は実数なので、 \[ |V_{C0}|=\frac{1}{\omega_0 CR}|V_0| \tag{18} \] さらに、インダクタの両端電圧を$V_{L0}$とすると、(3)より、 \[ V_{L0}=j\omega_0 LI_0=j\frac{\omega_0 L}{R}V_0 \tag{19} \] $\omega_0, L, R$は実数なので、 \[ |V_{L0}|=\frac{\omega_0 L}{R}|V_0| \tag{20} \] ちなみに(14),(17),(19)より、 \[ V_{C0}+V_{L0}=0 \tag{21} \] となり、それぞれの素子の電圧が逆方向の向きであり打ち消しあっていることがわかる。 (18),(20)に現実的な数字を代入してみると、$|V_{C0}|, |V_{L0}|$が$|V_0|$よりも大きな値になることがわかる。この$|V_0|$の何倍になっているのかを$Q$値という。 (18),(20),(15)より、 \[ Q=\frac{1}{\omega_0 CR}=\frac{\omega_0 L}{R}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} \tag{22} \] となる。
ここで、 \[ \omega_{-}=\omega_c-\frac{\omega_b}{2} \tag{23} \] \[
\omega_{+}=\omega_c+\frac{\omega_b}{2} \tag{24} \] とする。 $\omega=\omega_{-}, \omega=\omega_{+}$のときの電力$P$をそれぞれ$P_{-}, P_{+}$とし、 \[ P_{-}=P_{+} \tag{25} \] とする。
このとき$\omega=\omega_{-}, \omega=\omega_{+}$のときのインピーダンス$Z$をそれぞれ$Z_{-}, Z_{+}$とすると、(12)より \[ |Z_{-}| = |Z_{+}| \tag{26} \] これより、 \[ \omega_{-}L-\frac{1}{\omega_{-}C}=\omega_{+}L-\frac{1}{\omega_{+}C} \tag{27} \] または \[ \omega_{-}L-\frac{1}{\omega_{-}C}=-\omega_{+}L+\frac{1}{\omega_{+}C} \tag{28} \]
このとき$\omega=\omega_{-}, \omega=\omega_{+}$のときのインピーダンス$Z$をそれぞれ$Z_{-}, Z_{+}$とすると、(12)より \[ |Z_{-}| = |Z_{+}| \tag{26} \] これより、 \[ \omega_{-}L-\frac{1}{\omega_{-}C}=\omega_{+}L-\frac{1}{\omega_{+}C} \tag{27} \] または \[ \omega_{-}L-\frac{1}{\omega_{-}C}=-\omega_{+}L+\frac{1}{\omega_{+}C} \tag{28} \]
(27)より、 \[
\left(\omega_{+}-\omega_{-}\right)L+\left(\frac{1}{\omega_{-}}-\frac{1}{\omega_{+}}\right)\frac{1}{C}=0 \] \[ L+\frac{1}{\omega_{-}\omega_{+}C}=0 \tag{29} \] $\omega_{-}, \omega_{+}, L,
C$は正の整数なので(29)は成り立たない。
(28)より、 \[
\left(\omega_{+}-\omega_{-}\right)L-\left(\frac{1}{\omega_{-}}-\frac{1}{\omega_{+}}\right)\frac{1}{C}=0 \] \[ L-\frac{1}{\omega_{-}\omega_{+}C}=0 \] \[ \omega_{-}\omega_{+}=\frac{1}{LC} \tag{30} \]
(15)より、 \[ \omega_{-}\omega_{+}=\omega_0^2 \tag{31} \]
Qが共振の鋭さを示す数とし、 \[ Q=\frac{\omega_0}{\omega_{+}-\omega_{-}} \tag{32} \] で表せるとする。
(23)(24)より、 \[ \begin{eqnarray} Q&=&\frac{\omega_o}{\left(\omega_c+\frac{\omega_b}{2}\right)-\left(\omega_c-\frac{\omega_b}{2}\right)} \\ &=&\frac{\omega_0}{\omega_b} \tag{33} \end{eqnarray} \] (33)(22)より、 \[ \begin{eqnarray} \frac{1}{C}&=&{\omega_0QR} \\ &=&\frac{\omega_0^2 R}{\omega_b} \tag{34} \end{eqnarray} \] また、 \[ \begin{eqnarray} L&=&\frac{QR}{\omega_0} \\ &=&\frac{R}{\omega_b} \tag{35} \end{eqnarray} \]
(23)(24)より、 \[ \begin{eqnarray} Q&=&\frac{\omega_o}{\left(\omega_c+\frac{\omega_b}{2}\right)-\left(\omega_c-\frac{\omega_b}{2}\right)} \\ &=&\frac{\omega_0}{\omega_b} \tag{33} \end{eqnarray} \] (33)(22)より、 \[ \begin{eqnarray} \frac{1}{C}&=&{\omega_0QR} \\ &=&\frac{\omega_0^2 R}{\omega_b} \tag{34} \end{eqnarray} \] また、 \[ \begin{eqnarray} L&=&\frac{QR}{\omega_0} \\ &=&\frac{R}{\omega_b} \tag{35} \end{eqnarray} \]
$\omega=\omega_{-}$のとき(5)より \[ \begin{eqnarray}
Z_{-}&=&R+j\left(\omega_{-}L-\frac{1}{\omega_{-}C}\right) \\ &=&R+j\left(\frac{\omega_{-}R}{\omega_b}-\frac{\omega_0^2R}{\omega_{-}\omega_b}\right) \\
&=&R+j\frac{R}{\omega_b}\left(\omega_{-}-\frac{\omega_0^2}{\omega_{-}}\right) \tag{36} \end{eqnarray} \] (31)より、 \[ \begin{eqnarray}
Z_{-}&=&R+j\frac{R}{\omega_b}\left(\omega_{-}-\frac{\omega_{-}\omega_{+}}{\omega_{-}}\right) \\ &=&R-j\frac{R}{\omega_b}\left(\omega_{+}-\omega{-}\right) \end{eqnarray} \] (23)(24)より、
\[ Z_{-}=R-jR \tag{37} \] このとき、 \[ |Z_{-}|=\sqrt{2}R \tag{38} \] となり、 \[ P_{-}=\frac{|V|^2R}{2\cdot2R^2}=\frac{|V|^2}{4R} \tag{39} \] 同様に、 \[ P_{+}=\frac{|V|^2}{4R} \tag{40} \]
$\omega=\omega_0$のときの$P$を$P_0$とすると、 \[ P_0=\frac{|V|^2R}{2|Z_0|^2}=\frac{|V|^2}{2R}
\tag{41} \] よって、 \[ P_{-}=P_{+}=\frac{P_0}{2} \tag{42} \] が成り立っている。
すなわち、(33)を満足する条件$\omega_b$によってなる$\omega_{-}, \omega_{+}$で、電力は共振時($\omega=\omega_0$)の半分になる。
これにより、$P$の半値幅で共振周波数を割ったものが$Q$であるといえる。また、よくwebに突然出てくる「$P$の半値幅」は、「電流$I$において$I \geqq \frac{I_{max}}{\sqrt{2}}$を満足する周波数幅と同じ」であることも上の式中で示されている。
すなわち、(33)を満足する条件$\omega_b$によってなる$\omega_{-}, \omega_{+}$で、電力は共振時($\omega=\omega_0$)の半分になる。
これにより、$P$の半値幅で共振周波数を割ったものが$Q$であるといえる。また、よくwebに突然出てくる「$P$の半値幅」は、「電流$I$において$I \geqq \frac{I_{max}}{\sqrt{2}}$を満足する周波数幅と同じ」であることも上の式中で示されている。
L,C,RからQが計算されるってところから、周波数幅に結び付ける道筋がなかなか思いつかなくて、もう半値幅のことを知っている前提で、あっていることだけ示そうかどうかとも思っていたけど、潜在意識にまで透徹する強い持続した願望をもつことによって、事前知識ほぼなしの状態から導いた風にできました。
しかししんどかったので、並列共振までやるかどうか悩み中。そして、最後の目的は直列共振回路で送信して並列共振回路で受信する相互誘導したときに、なんでQは足し算にならなかったのか、、、を証明すること。道のりは遠い。
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ヒマナッツ (火曜日, 27 8月 2024 23:39)
式29に言及している部分は「正の整数」ではなく「正の実数」だね