ASK変調のスペクトル(1)

送信するシンボルを周期$T_B$(ただし$\omega_B=\frac{2\pi}{T_B}$)の矩形波とする。搬送波周波数を$\omega_c$とする。
矩形波は面倒なので一旦$x_B\left(t\right)$としておく。
キャリア波形を

\[ x_{c}\left(t\right)=A\sin\left\{\omega_c \left(t+t_{0c}\right)\right\} \tag{1} \]

\[ x_{TX}\left(t\right)=x_c\left(t\right) \cdot x_B\left(t\right) \tag{2} \]

$t_{0c}$は$t=0$が必ずしも$\theta=0$ってわけではないので、初期位相がゼロとは限らんよという意味です。今回は余計なことかもしれないけど。
次に、一旦おいておいた$x_B\left(t\right)$について考える。
パルスで直交復調の回に示したように

は
\[ f \left( t \right)= \frac{4}{\pi} \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin\left\{\left(2n-1\right)\frac{2 \pi}{T} t\right\}}{2n-1} \tag{3} \] と表せます。これをちょっといじることで、 \[ x_B \left( t \right)= \frac{2}{\pi} \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin\left\{\left(2n-1\right)\omega_B \left(t+t_{0B}\right)\right\}}{2n-1}+\frac{1}{2} \tag{4} \] となります。

$t_{0B}$も初期位相がゼロとは限らんよという意味です。

\begin{eqnarray} x_B \left( t \right)= & &\frac{2}{\pi}\sin\left\{\omega_B\left(t+t_{0B}\right)\right\}\\ &+&\frac{2}{3\pi}\sin\left\{3\omega_B\left(t+t_{0B}\right)\right\}\\ &+&\frac{2}{5\pi}\sin\left\{5\omega_B\left(t+t_{0B}\right)\right\}\\ &+&...\\ &+&\frac{1}{2} \tag{5} \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x_{TX} \left( t \right)= & &\frac{2A}{\pi}\sin\left\{\omega_c \left(t+t_{0c}\right)\right\}\sin\left\{\omega_B\left(t+t_{0B}\right)\right\}\\ &+&\frac{2A}{3\pi}\sin\left\{\omega_c \left(t+t_{0c}\right)\right\}\sin\left\{3\omega_B\left(t+t_{0B}\right)\right\}\\ &+&\frac{2A}{5\pi}\sin\left\{\omega_c \left(t+t_{0c}\right)\right\}\sin\left\{5\omega_B\left(t+t_{0B}\right)\right\}\\ &+&...\\ &+&\frac{A}{2}\sin\left\{\omega_c \left(t+t_{0c}\right)\right\} \tag{6} \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} x_{TX} \left( t \right)= & &\frac{A}{\pi}\cos\left\{\left(\omega_c-\omega_B\right)t+\omega_c t_{0c}-\omega_B t_{0B}\right\}-\frac{A}{\pi}\cos\left\{\left(\omega_c+\omega_B\right)t+\omega_c t_{0c}+\omega_B t_{0B}\right\}\\ &+&\frac{A}{3\pi}\cos\left\{\left(\omega_c-3\omega_B\right)t+\omega_c t_{0c}-3\omega_B t_{0B}\right\}-\frac{A}{3\pi}\cos\left\{\left(\omega_c+3\omega_B\right)t+\omega_c t_{0c}+3\omega_B t_{0B}\right\}\\ &+&\frac{A}{5\pi}\cos\left\{\left(\omega_c-5\omega_B\right)t+\omega_c t_{0c}-5\omega_B t_{0B}\right\}-\frac{A}{5\pi}\cos\left\{\left(\omega_c+5\omega_B\right)t+\omega_c t_{0c}+5\omega_B t_{0B}\right\}\\ &+&...\\ &+&\frac{A}{2}\sin\left\{\omega_c \left(t+t_{0c}\right)\right\} \tag{7} \end{eqnarray}