theory  ·  22日 7月 2020

    パルスで直交復調(6) -こんどこそ1-

    そもそもの式は

    \[ f \left( t \right)= a_{0}+\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left\{ a_{n}\cos \left( \frac{2 \pi n}{T} t \right) + b_{n}\sin \left( \frac{2 \pi n}{T} t \right) \right\} \tag{1} \]

    めんどくさいので、答えだけ

    \[ a_0=\frac{t_p}{T} \tag{2} \]
    \[ a_n=\frac{2}{\pi n} \sin \left( \frac{\pi n}{T} t_p \right) \tag{3} \]
    \[ f \left( t \right)= \frac{t_p}{T} +\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left\{ \frac{2}{\pi n}\sin\left(\frac{\pi n}{T}t_p\right) \cos \left( \frac{2 \pi n}{T} t \right) \right\} \tag{4} \]

    numpyで確認

    1. # 変数クリア
    2. from IPython import get_ipython
    3. get_ipython().magic('reset -sf')
    4.   
    5. import matplotlib.pyplot as plt
    6. import numpy as np
    7.   
    8. # よく使う変数
    9. pi=np.pi
    10.  
    11. # 設定
    12. T=1
    13. tp=0.001 
    14. repeat_num=20
    15.  
    16. # 計算する範囲と刻みで計算ポイントを作る
    17. t=np.arange(-T,T,0.00001)
    18.   
    19. # 式に値を入れて結果を得る
    20. a=np.zeros(repeat_num)
    21. f_t=np.zeros((repeat_num,t.size))
    22. a[0]=tp/T
    23. f_t[0,:]=np.ones_like(t)*a[0]
    24. for n in range(1,repeat_num):
    25.     a[n]=2/n/pi*(np.sin(n*pi/T*tp))
    26.     f_t[n,:]=f_t[n-1,:]+a[n]*np.cos(2*pi*n/T*t)
    27.   
    28. # プロット
    29. fig=plt.figure()
    30. plt.plot(t,f_t[1],label="n=1")
    31. plt.plot(t,f_t[2],label="n=1,2")
    32. plt.plot(t,f_t[3],label="n=1,2,3")
    33. plt.plot(t,f_t[4],label="n=1,2,3,4")
    34. plt.plot(t,f_t[5],label="n=1,...,5")
    35. plt.legend()
    36.   
    37. fig=plt.figure()
    38. plt.plot(t,f_t[repeat_num-1],label="n=1,...,"+str(repeat_num))
    39. plt.legend()

    (4)でtの代わりにt-T/4と書けばよい。

    答えがきれいにならないので、もうこれ以上やらない。

    \[ f \left( t \right)= \frac{t_p}{T} +\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left\{ \frac{2}{\pi n}\sin\left(\frac{\pi n}{T}t_p\right) \cos \left( \frac{2 \pi n}{T} \left(t-\frac{T}{4}\right) \right) \right\} \tag{5} \]

    numpyで確認

    1. # 変数クリア
    2. from IPython import get_ipython
    3. get_ipython().magic('reset -sf')
    4.   
    5. import matplotlib.pyplot as plt
    6. import numpy as np
    7.   
    8. # よく使う変数
    9. pi=np.pi
    10.   
    11. # 設定
    12. T=1
    13. tp=0.001 
    14. repeat_num=20
    15.  
    16. # 計算する範囲と刻みで計算ポイントを作る
    17. t=np.arange(-T,T,0.00001)
    18.   
    19. # 式に値を入れて結果を得る
    20. a=np.zeros(repeat_num)
    21. f_t=np.zeros((repeat_num,t.size))
    22. a[0]=tp/T
    23. f_t[0,:]=np.ones_like(t)*a[0]
    24. for n in range(1,repeat_num):
    25.     a[n]=2/n/pi*(np.sin(n*pi/T*tp))
    26.     f_t[n,:]=f_t[n-1,:]+a[n]*np.cos(2*pi*n/T*(t-T/4))
    27.   
    28. # プロット
    29. fig=plt.figure()
    30. plt.plot(t,f_t[1],label="n=1")
    31. plt.plot(t,f_t[2],label="n=1,2")
    32. plt.plot(t,f_t[3],label="n=1,2,3")
    33. plt.plot(t,f_t[4],label="n=1,2,3,4")
    34. plt.plot(t,f_t[5],label="n=1,...,5")
    35. plt.legend()
    36.   
    37. fig=plt.figure()
    38. plt.plot(t,f_t[repeat_num-1],label="n=1,...,"+str(repeat_num))
    39. plt.legend()

    それらしい結果になりました。

     

    で、一番低い周波数成分が、1/Tになっているので、矩形波と同じように、パルスで直交復調してもよいってことでしょ。

    カテゴリ： 非現実