theory  ·  19日 7月 2020

    パルスで直交復調(2) -フーリエ級数展開-

    こういう場合。

    \[ a_{0}=\frac{1}{T} \displaystyle \int_{-\frac{T}{2}}^{ \frac{T}{2} } f\left(t\right) dt \tag{1} \]
    \[ a_{n}=\frac{2}{T} \displaystyle \int_{-\frac{T}{2}}^{ \frac{T}{2} } f\left(t\right) \cos \left( \frac{2\pi n}{T}t \right) dt \tag{2} \]
    \[ b_{n}=\frac{2}{T} \displaystyle \int_{-\frac{T}{2}}^{ \frac{T}{2} } f\left(t\right) \sin \left( \frac{2\pi n}{T}t \right) dt \tag{3} \]
    \[ f \left( t \right)= a_{0}+\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left\{ a_{n}\cos \left( \frac{2 \pi n}{T} t \right) + b_{n}\sin \left( \frac{2 \pi n}{T} t \right) \right\} \tag{4} \]

    こうなるらしい。

    ここで、

    \[ a_{0}=0 \tag{5} \]

    なのは、まぁそうかなっと。

    で、cosはY軸について左右対称で、f(t)はまぁいうなれば左側を上下反転するわけなので、

    \[ a_{n}=0 \tag{6} \]

    も、まぁそうかなっと。では、式(3)について、sinは原点について点対称で、f(t)も原点について点対称なので、

    \[ b_{n}=\frac{4}{T} \displaystyle \int_{0}^{ \frac{T}{2} } \sin \left( \frac{2\pi n}{T}t \right) dt \tag{7} \]

    と、積分区間を半分にして、倍にしていいのかなっと。で、なんとか思い出し思い出し計算すると、

    \[ b_{n}= \frac{4}{T}\frac{T}{2\pi n} \left[ - \cos \left( \frac{2\pi n}{T}t \right) \right]_0^\frac{T}{2} \tag{8} \]
    \[ b_{n}=\frac{2}{\pi n} \left( - \cos \pi n +1 \right) \tag{9} \]

    となるので、

    \[ \begin{eqnarray} b_{1} &=& \frac{4}{\pi} \\ b_{2} &=& 0 \\ b_{3} &=& \frac{4}{3 \pi} \\ b_{4} &=& 0 \\ b_{5} &=& \frac{4}{5 \pi} \\ ... \end{eqnarray} \tag{10} \]

    (5)(6)(10)を(4)に代入する。

    \[ f \left( t \right)= \frac{4}{\pi} \sin \left( \frac {2 \pi}{T} t \right) +\frac{4}{3 \pi} \sin \left(3 \frac {2 \pi}{T} t \right) +\frac{4}{5 \pi} \sin \left(5 \frac {2 \pi}{T} t \right) +... \tag{11} \]

    で、これをもう一度一般的に書き直すと、

    \[ f \left( t \right)= \frac{4}{\pi} \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin\left\{\left(2n-1\right)\frac{2 \pi}{T} t\right\}}{2n-1} \tag{12} \]

    う～む、、、あっているのかわからないので、確かめてみる。

    1. # 変数クリア
    2. from IPython import get_ipython
    3. get_ipython().magic('reset -sf')
    4.  
    5. import matplotlib.pyplot as plt
    6. import numpy as np
    7. import scipy.signal as signal
    8.  
    9. # よく使う変数
    10. pi=np.pi
    11.  
    12. # 設定
    13. T=1
    14.  
    15. # 計算する範囲と刻みで計算ポイントを作る
    16. t=np.arange(-T,T,0.01)
    17.  
    18. # 式に値を入れて結果を得る
    19. f1_t=4/np.pi*np.sin(2*pi/T*t)
    20. f2_t=f1_t+4/(3*np.pi)*np.sin(3*2*pi/T*t)
    21. f3_t=f2_t+4/(5*np.pi)*np.sin(5*2*pi/T*t)
    22. f4_t=f3_t+4/(7*np.pi)*np.sin(7*2*pi/T*t)
    23. f5_t=f4_t+4/(9*np.pi)*np.sin(9*2*pi/T*t)
    24. f6_t=f5_t+4/(11*np.pi)*np.sin(11*2*pi/T*t)
    25. f7_t=f6_t+4/(13*np.pi)*np.sin(13*2*pi/T*t)
    26.  
    27. # プロット
    28. fig=plt.figure()
    29. plt.plot(t,f1_t,label="n=1")
    30. plt.plot(t,f2_t,label="n=1,2")
    31. plt.plot(t,f3_t,label="n=1,2,3")
    32. plt.plot(t,f4_t,label="n=1,2,3,4")
    33. plt.plot(t,f5_t,label="n=1,...,5")
    34. plt.legend()
    35.  
    36. fig=plt.figure()
    37. plt.plot(t,f7_t,label="n=1,...,7")
    38. plt.legend()

    どうやら、あっているらしい。

    道のりが長い、、、

    カテゴリ： 非現実